分量

图中三角的两条红线已经派上了用场，但它们还有其他的用处。假设我把物体沿着x方向移动2.0米（水平红线），然后沿着x方向移动1.0米（竖直红线）。最终物体落在点(x,y) = (2.0 m,2.0 m)处。因此两条红线相加得到紫线表示的位移。我们可以这样描述 r = (x方向2.0 m)加上(y方向2.0 m)。我们说 r 有一个x分量和y分量，根据sin和cos的定义：
r_x  =   2.0 m   =   r cos θ  
r_y  =   1.0 m   =   r sin θ.
这两个等式告诉我们在给出向量的模和方向后，怎样计算其它的分量。我们不一定要局限于x轴和y轴，我们可以在任何两个或多个正交的方向上做这件事情。这是物理中进行受力分析的重要方法：我们通常希望力作用在运动方向和角度上。

通过分量计算模和方向的话，我们可以用毕达哥拉斯定理以及tan 函数的定义：

r  =   (r_x² + r_y²)^1/2    
θ  =  tan⁻¹ (r_y/r_x).
请注意分量r_x 和 r_y 是标量，所以我们不能简单地将两者相加来计算 r —我们需要知道方向。可以用单位向量来解决这个问题。

单位向量

假如我们说“向东2.0米，然后向北1.0米”，这个“东”又是指什么呢？它只是告诉我们方向，那么它有模吗？现在我们给这个“东”指定模，让它为1（不是1米，就只是1）。然后我们就可以把“”向东2.0米”看作是一个乘积了。这里，东就是一个单位向量了。


我们分别用 i, j和k 表示x、y和z方向的单位向量。然后我们就可以写出：
r  =  r_x i + r_y j    =  (2.0 m)i + (1.0 m) j
换句话说就是，位移 r 可以通过在 i （或 x）方向上移动r_x 距离，加上j（或y）方向上移动r_y距离来得到。如果这看起来有点奇怪，那就让我们用单位向量 N来表示北，用 E来表示东好了。“向东2.0米，然后向北1.0米”就是(2.0 E + 1.0 N)米。

当然，并不是所有情况下我们都要用到单位向量。我们用“正x方向”代替i。但是，单位向量除了简洁以外，另一个好处就是用它做向量的计算会变得非常简单，在之后向量的加减乘部分我们就会明白这点。

偶尔你也会在圆、圆柱或球形的极坐标中看到单位向量。这些单位向量包括半径r方向、θ、φ和/或z方向。不过在Physclips的力学部分我们不会用到这些单位向量。

三维向量

在一个(x,y,z)坐标系中，我们要用到笛卡尔坐标系的三个单位向量，向量 a写作： a  =  ax i + ay j + az k. 让z轴的正方向处于x和y轴的正方向的右侧有两种可能。按习惯，我们用所谓的右手系统：如果你的右手大拇指和食指分别指向x和y的正方向，那么中指就指向z的正方向，如图所示。（抱歉图画得不好） 毕达哥拉斯定理在三维空间同样适用，如图所示。对于向量 a，它的模是？ 首先，用毕达哥拉斯定理计算斜边h： h2  =  ax2 + ay2. 然后我们看那个a为斜边的三角形。对于这个三角形， a2  = h2 + az2. 把第一等式中的h代入第二个等式我们就得到了三维形式的毕达哥拉斯定理，因此也得到了用三个分量计算向量模的方法： a2  =  ax2 + ay2 + az2. 四维的情况呢？比如在(x1,y1,z1,t1)和(x2,y2,z2,t2)处的两个事件的时空距离？这就涉及相对论了，相关的介绍请看这里。简单来说，我们写作a2 = (x22 − x12) + (y22 − y12) + (z22 − z12) − (ct22 − ct12)。

向量的加减法

向量加法 首先请注意，在这张图中，两个箭头标记为b。但是，这两个箭头的的模和方向相等，所以 他们是相等的向量。现在让我们把图中的 a和 b 看作是位移。就说我沿着位移 a 移动好了（也就是我从 a 的末尾移动到箭头处）。将位移 b加上去，就是从我刚才到达的地方，也就是 a的箭头处，沿着 b继续移动。换句话说，我把两个向量头尾相连。所以，在图中， a + b  =  c. 前后的顺序没有关系：如果我复制一个 a然后把它的末尾放到 b的箭头处，我仍能得到 c，相信你可以想象得出来。所以就有 b + a  =  c  =  a + b, 这个关系看起好像没什么用处，但事实上并不是这样。 可以用几何图形清楚地解释加法。但是，如果我們知道（或者可以找到）向量的分量的話，就很容易写出: c  =  a + b  =  (ax i + ay j) + (bx i + by j) ,   所以 cx i + cy j =  (ax  + bx )i + (ay  + by )j. 最后一个等式给出了向量c的x分量和y分量的表达式。也就是说，这样一个二维向量的等式给出了两个标量式。 c  =  a + b 告诉我们: cx   =  ax  + bx     以及 cy   =  ay  + by . 记住这个表达式会很有用，特别是你要“再找一个等式”时——例如当你要解n+1个未知变量的方程组却发现只有n个等式时！当然，一个三维向量的等式包含了三个标量式。

向量减法 让我们回到之前的实例， a + b  =  c, 移项得到 a  =  c − b. 显然b − b = 0。换句话说，就是在移动了b后，移动− b会把我们带回原处。因此向量− b和 b大小相同，但方向相反。图中，我们就可以画出 c − b  =  c + (− b). 另外，这两张图也告诉我们(c − b) 这个向量加上 b向量能够得到 c。这个向量也是之图中的 a向量。

相对运动和坐标系的移动

相对运动问题中有很多向量加减法的应用，所以这里让我们进行一些练习。先来看一个简单的实例，之后再考虑更复杂的。

顶风什么感觉？ 假设风从东边吹过来（即向西吹），速度为5 m.s−1。因此风相对地面的速度是 vw = 5 m.s−1 向西。如果你以10 m.s−1 的速度向东骑自行车（即 vb = 10 m.s−1 向东），那么风 相对你的速度是多少？顶风时你所感觉到的吹在脸上的风有多强呢？ 风相对地面的速度， vw 通常称为真实速度，风相对地面上移动物体的速度称为视速度， vaw。所以这个问题也可以这样表述：视速度是多少？或者说在一个同你一起移动的坐标系中风速 vaw是多少？ 答案很简单：风相对你以 vaw 的速度移动，你相对地面以 vb的速度移动，所以真实风速是： vw  =  vaw + vb .    所以： vaw  =  vw − vb. 在骑自行车向东而风向西吹的实例中，我们可以把风的速度写作 vw  =  5 m.s−1 向西  =  − 5 m.s−1 向东 所以骑自行车顶风时的风速是15 m.s−1 ——这个答案相信你在心里就已经算出来了。

不同体系中的位置，速度和加速度 这里让我们讨论更一般的情况：假设一个质点在一个固定在地面上的体系中的位置为r 。如果让这个体系相对地面匀速运动，相对地方面位置为 rf。所以该体系的移动速度是 vf = drf/dt。把这个质点在移动的体系中的位置称为 r'，所以 r  =  rf + r' . 考虑到在这两个体系中测得的时间是同步的（细节见相对论），我们可以对两边进行求导， v  =  dr/dt  =  drf/dt + dr'/dt  = vf + v' ,   或      v'  =  v − vf ,  v'是移动体系中测得的速度（虚线表示的体系）。对时间再求导 a  =  dv/dt  =  dvf/dt + dv'/dt  = af + a' , a'是移动体系中测得的加速度。但是，我们假设移动体系是匀速运动的，所以 a'是零，因而 a = a'  在两个体系中如果我们发现力是相同的，那么我们就知道，由于我们假设加速度是相同的，所以运动定律是相同的。这会涉及到相对论的话题，不管是伽利略形式还是爱因斯坦形式，在这个链接中我们将更详细地讨论。

向量的标量积（点乘）

两个向量的乘积是什么意思？很显然这肯定和两个数字的乘积不同。答案是可以表示任何意义，就看我们怎么定义了，只要定义是不变的。如果没什么用处，那么定义乘积本身也就没什么意义，所以让我们看看哪里可以用到乘积。

功是一个很好的例子。施加一个力 F（向量），当施力点移动 s（向量），所作的功（标量）正比于F，也正比于s。因此定义向量的乘积来得到一个标量是合理的。所作的功也取决于F和 s之间的角度 θ，实际上：

W  =  F.s.cos θ.

我们这样定义两个向量的标量积或点乘：

a.b  ≡  a.b.cos θ

这里θ是 a 和 b之间的夹角。

把它叫做标量积的原因，正如你看到的，等式右侧是一个标量。这也叫做点乘， a 和 b之间的那个点意味着这种乘积。这个读作“a点b”。然后让我们来看几个从这个定义得到的推论。

a.a  ≡  a.a.cos 0  =  a²

也就是说一个向量和自身的标量积是这个向量模的平方。两个相互垂直向量的标量积是零，因为在表达式中，直角的余弦结果是零。为什么是这样的理由，在看了下面的内容后就会很清楚了，我们要注意到一个看起来无足轻重但实际却很重要的结果：

a.b  =  b.a

我们可以把这些结果应用到单位向量（它们的模是1）上，就得到了下面这些重要的结果：

i.i  =  1     相似地      j.j  =  k.k  =  1,     而

i.j  =  j.k  =  k.i  =  0.

这多少可以让我们简化代数计算。两个向量

a  =  a_x i + a_y j + a_z k     和
b  =  b_x i + b_y j + b_z k

现在我们可以写出两种不同形式的标量积：

a.b  =  a.b.cos θ     以及
a.b  =  (a_x i + a_y j + a_z k).(b_x i + b_y j + b_z k)
=  a_x b_x  + a_y b_y  + a_z b_z .

两个结果是相同的，也由此给出了计算两个向量夹角的简洁公式（如果你觉得不简洁，那么请试着再想一个计算θ的方法）。你也可以用点乘来计算向量的分量，因为从上面的结果中可以知道，

a.i  =  a_x      对于其他分量类似。

向量的向量积（叉乘）

我们刚才看到两个向量的标量积（点乘）是标量。向量积（叉乘）是——相信你已经猜到了。首先要介绍几个我们之后会用到的实例。

考虑一个在磁场 B中以速度 v运动的电荷q所受到的磁力 F。（磁力的实例请见 电动机。）这个力的大小正比于v和B，因而我们需要两个向量的积。这个力的大小也正比于sin θ，这里θ是 v和 B的夹角。这个磁力 F是一个向量，所以这不仅需要模，还需要方向。那个方向垂直于 v 和 B。

“右手系”是必须说明的，因为垂直于 a和 b的方向有两个方向。因此，如果让你右手的大拇指指向 a的方向，食指指向 b的方向，那么中指所指的方向就是 a X b的方向。除非你的手指特别灵活，否则大拇指和其他两个手指只能保持一种相互垂直的状态。 另一种定义方向的方法则不需要用到手，即用螺丝刀来拧螺丝，螺丝刀的刀面从 a转向 b， 那么通常这个螺丝（右手）前进的方向就是 a X b的方向。另一些记忆方法叫做“TIM”和“NED”，字母代表了等式拇指 X 食指  =  中指，如图中所示。或者用笛卡尔方向， 北 X 东  =  下。（你可以相信这些记忆方法，但你也要让自己知道，右手 拇指  =  食指 X 中指 以及北  =  东 X 下。）

关于模，我们可以看到 任意向量与自身的叉乘等于零 并且角度θ = π/2时叉乘值最大。看看上面的扳手，相信你也会同意：沿着θ = π/2的方向对扳手施力，会得到最大的扭矩。

这里要指出一个可能令人出乎意料的情况。为了证实之前的记忆方法，现在让你的右手大拇指指向 北，食指指向东。是的， 北 X 东手心确实向 下。现在让你的大拇指指向 东然后食指指向北 。现在你会发现 东 X 北 手心向上。换句话说就是：

a X b  =  − b X a,

这里我用红色字体写出来，以帮助你记忆。（这与我们之前看到的结果是不同的： a.b = b.a and a+b = b+a。）

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